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探讨矩阵可逆

August 17, 2022 • Read: 313 • 学习

以下观点与思想受教于MIT的线代课,最近在补线代知识


矩阵是否可逆?

举例 一个简单2x2矩阵A

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6 \end{bmatrix} $$

假设A 可逆,则存在其可逆矩阵使得相乘等于单位阵

$$ AA^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_{11} &X_{12} \\ X_{21} &X_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0&1 \end{bmatrix} $$

从矩阵乘法上看,乘积结果的每一列都来自于A中的每一列,这样不可能得到单位阵,单位阵中[1,0]列和[0,1]列不可能是[1 2] 列 和 [3 6] 列的线性组合

换句话解释,矩阵的列在几何上表现为向量,矩阵乘法即为向量的线性组合,不能用平行向量[12] [3 6]组合得到向量[0 1] [1 0],因此该向量不可逆。显然,平行向量为基张成的空间为一条直线y=2x,而[0 1] [1 0]不在这条线上

因此称这个矩阵不可逆

个人理解

我们可以将一组基向量通过线性变换到一条直线上,例如将i与j变换到y=x上

$$ IP = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} =X $$

但是我们无法将y=x上的这俩向量重新变换回i与j,无法张成二维空间

$$ XP^{-1} = \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 1 &2 \end{bmatrix}P^{-1}\ne I $$

P这一变换不可逆,因此说矩阵P不可逆

话说最近是贞德热啊

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5 Comments
  1. 看完不知道说的啥@(笑尿)

    1. @叶小明的博客一点点学习心得@(笑尿)

    2. @SoSilent不明觉厉

  2. 虽然以前高数学过,现在啥也不知道了

    1. @鸟叔我这学期才学线代放假回来又补@(泪)