方程组的几何解释
举例一个二元一次方程组
$$ \begin{cases} 2x-y=0 \\-x+2y = 3 \end{cases} $$
从矩阵的概念理解,应该为这样
$$ \begin{bmatrix} 2 &-1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\3 \end{bmatrix} $$
称左侧为 系数矩阵A 和 未知数向量X 右侧 变量为B
$$ AX=B $$
行图像
从行图像来看矩阵对应着方程本身,矩阵每行对应着一个方程组,而图像的交点对应着方程组的解和矩阵的解
列图像
矩阵每列对应一个向量,将所有向量配以正确的系数正确组合,从而构成结果,称为"线性组合"
$$ x\begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\3 \end{bmatrix} $$
对向量的组合,达到最终结果
拓展到三元方程组
$$ \left\{\begin{matrix} 2x-y=0 \\-x+2y-z=-1 \\-3y+4z = 4 \end{matrix}\right. $$
$$ \begin{bmatrix} 2& -1 &0 \\ -1& 2 &-1 \\ 0&-3 &4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\-1 \\4 \end{bmatrix} $$
高斯消元法
对方程组
$$ \left\{\begin{matrix} x+2y+z=2\\3x+8y+z=12\\4y+z=2 \end{matrix}\right. $$
对 方程1
乘上系数-3加到 方程2
上,使其消除x,这和平常的方程组消元方式没什么区别,在矩阵上表现为 初等行变换
(对增广矩阵)
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 &1 \\ 3 & 8&1 \\ 0 &4 &1 \end{bmatrix}\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 &1 \\ 0 & 2&-2 \\ 0 &0 &5 \end{bmatrix} $$
对系数矩阵A消元到上三角形式的矩阵称为U,其中主对角线上的 1 、2、5 称为主元123
行列式的值等于主元之积
消元会失效的情况
- 不能得到3个主元的时候
比如某行的主元恰巧为0的时候,行交换可以解决主元为0的暂时性失效,但当底下的行中再无非0元素时,消元就彻底失效了
回带
将系数矩阵的操作中代入结果向量b,也相当于将系数矩阵扩展成增广矩阵,对b向量进行A->U的过程中的相同操作
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 &1&2 \\ 3 & 8&1 &12\\ 0 &4 &1&2 \end{bmatrix}\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 &1&2 \\ 0 & 2&-2 &6\\ 0 &0 &5&-10 \end{bmatrix} $$
将b的最终结果[2,6,-10]记为c
致此,矩阵U和向量c的含义如下
$$ \left\{\begin{matrix} x+2y+z=2\\2y-2z=6\\5z=-10 \end{matrix}\right. $$
现在可以轻易按z,y,x的顺序先后求出三个未知数,就是回带的过程
消元矩阵
如何看待矩阵乘法?矩阵乘与某个向量的结果,是矩阵列的线性组合
$$ \begin{bmatrix} x&x&x \\ x&x&x \\ x&x&x \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 \\4 \\5 \end{bmatrix}=3*col1+4*col2+5*col3 $$
但是矩阵消元用到是行变换而非列,但若一个行向量(1*3矩阵)乘一个矩阵
$$ \begin{bmatrix} 1&2&7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x&x&x \\ x&x&x \\ x&x&x \end{bmatrix}=1*row1+2*row2+7*row3 $$
这便是对行的线性组合
举个例子,在对矩阵A进行消元的过程中,第一步是将row1*3并在row2中减去,我们需要对矩阵A左乘一个矩阵如下
$$ \begin{bmatrix} 1&0&0\\-3&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 &1 \\ 3 & 8&1 \\ 0 &4 &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 &1 \\ 0 &2&-2 \\ 0 &4 &1 \end{bmatrix} $$
表示结果是第一行由1*row1,第二行由-3*row1+1*row2,第三行由1*row3组成的矩阵
用来进行初等变换,就像上式的矩阵称为初等矩阵,记为E,用下标21表示对第二行第一列的变换
对于矩阵
$$ \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} $$
称为单位矩阵,就像单位1,乘上它不会发生任何变换
总结A到U的所有过程如下
$$ E_{32}(E_{21}A)=U $$
现在讨论,如何一步到位将A变换为U?虽然矩阵乘法不能改变矩阵顺序,但是括号可以随便增删(结合律)
$$ (E_{32}E_{21})A=U $$
对括号中的所有变换统筹记为E,即总的初等矩阵
置换矩阵
对于前面提到过的交换2行的初等矩阵
$$ \begin{bmatrix} 0&1\\1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c&d\\a&b \end{bmatrix} $$
置换矩阵记作P(Permutation 置换),当需要进行列变换时,则需要将置换矩阵放在右侧
$$ \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&1\\1&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b&a\\d&c \end{bmatrix} $$
逆矩阵
求某个初等矩阵(可逆)的逆矩阵,相当于取消该初等变换进行的消元操作。进行行、列的逆变换,使该初等矩阵变换为单位矩阵
$$ \begin{bmatrix} x&x&x\\ x&x&x\\ x&x&x\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ -3&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} $$
实际上对"第二行减去三倍第一行"的逆操作,就是"在第二行把三倍第一行加回来"
矩阵乘法
假设俩个矩阵A、B相乘,结果为C
$$ AB=C\\ $$
矩阵相乘不一定要大小相通的仿真,但是左侧的列数一定要与右侧的行数相同,假设A为m*n B为n*p 那么结果C 则为m*p
单个元素的求法
对C中i行j列处的元素Cij,其结果等于矩阵A中的第i行与B中的第j列对应元素相乘累加的结果
$$ C_{ij} = \sum Row_{i}(A)*Col_{j}(B)\\ =a_{i1}*b_{1j} + a_{i2}*b_{2j}+a_{i3}*b_{3j}+...+a_{ij}*b_{ij}\\ = \sum a_{ik}*b_{kj} $$
这是常规教材中的矩阵乘法方式,但是有别的方式
从整列、整行 进行考虑
还是AB=C,A为m*n B为n*p,如何用矩阵乘以列?
$$ A*Col_{1}(B) = Col_{1}(C) $$
启示就是,可以将B考虑为单独的列向量,C中的每列是由A中的各列的线性组合,而B中的数字则告诉我们是怎样的组合。
$$ Col_{1}(A)*B = Col_{1}(C) $$
A中的一行乘上B得到C中的一行,C中的各行为B各行的线性组合,而A则告诉我们如何组合。
列*行
如果是前行乘后列,得到的是一个元素
$$ row_{i}(A)*col_{j}(B) = C_{ij} $$
若是列乘行
A中的一列为m*1 B中的一行1*p
将得到一个完整的矩阵,形状为m*p,实际上这是个特殊的矩阵,矩阵的列是列向量的数倍,倍数关系与行向量有关,如果画出所有的行向量/列向量
分块乘法
可以将矩阵分开成块进行相乘
矩阵A B相乘,大小可以是10或者20......,分块的大小不必相同,但是相乘的时候需要匹配
$$ \begin{bmatrix} A_{1}&A_{2}\\ A_{3}&A_{4}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{1}&B_{2}\\ B_{3}&B_{4}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{1}B_{1}+A_{2}*B_{3} & A_{1}B_{2}+A_{2}*B_{4}\\ A_{3}B_{1}+A_{4}*B_{3} & A_{3}B_{2}+A_{4}*B_{4}\\ \end{bmatrix} $$
学霸的世界我还是路过吧!