探讨矩阵可逆

以下观点与思想受教于MIT的线代课，最近在补线代知识

---

矩阵是否可逆？

举例 一个简单2x2矩阵A

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6 \end{bmatrix} $$

假设A 可逆，则存在其可逆矩阵使得相乘等于单位阵

$$ AA^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_{11} &X_{12} \\ X_{21} &X_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0&1 \end{bmatrix} $$

从矩阵乘法上看，乘积结果的每一列都来自于A中的每一列，这样不可能得到单位阵，单位阵中[1,0]列和[0,1]列不可能是[1 2] 列 和 [3 6] 列的线性组合

换句话解释，矩阵的列在几何上表现为向量，矩阵乘法即为向量的线性组合，不能用平行向量[12] [3 6]组合得到向量[0 1] [1 0],因此该向量不可逆。显然，平行向量为基张成的空间为一条直线y=2x,而[0 1] [1 0]不在这条线上

因此称这个矩阵不可逆

个人理解

我们可以将一组基向量通过线性变换到一条直线上，例如将i与j变换到y=x上

$$ IP = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} =X $$

但是我们无法将y=x上的这俩向量重新变换回i与j，无法张成二维空间

$$ XP^{-1} = \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 1 &2 \end{bmatrix}P^{-1}\ne I $$

P这一变换不可逆，因此说矩阵P不可逆

话说最近是贞德热啊